たけしのコマ大数学科(20130813放送)

パズルを解くのは趣味の一つ。
「たけしのコマ大数学科」という、数学を扱っているTV番組が毎週月曜日深夜に放送されていて、可能な限り見るようにしている。

今晩深夜に放送予定なのでネタバレになってしまうが、問題と解答を書いた。
とても簡単で物足りなかった。対象年齢は中学生だと思う。

■問題
隣りあう2個の数字の和の平方根が整数になるよう、1から15の数字を並べろ。
例：3,1,15,10...

■解答
「隣りあう2個の数字の和」をSとすると、Sの範囲は、1+2 ≦ S≦ 14+15、つまり3 ≦S≦29である。この範囲内で平方根が整数になるのは、4,9,16,25の4個となる。

各々の和を構成する整数の組み合わせは下記に記す。

4
(1,3)

9
(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)


16
(1,15),(2,14),(3,13),(4,12),(5,11),(6,10),(7,9)
※(8,8)は、同一整数が2個あり、「1から15の数字を並べろ。」に反するため除外。

25
(10,15),(11,14),(12,13)
※その他の組み合わせは、15より大きい整数があり、「1から15の数字を並べろ。」に反するため除外。


上記で1回のみ登場する要素は8と9で、この2個の数字は、並べた列の先頭か末尾のどちらかでなければならない。

まず、8から始め、その後、上記組み合わせを満たす整数を選択していくと下記となる。


　８
　↓
　１ ─┐　
　↓  ↓
１５　　３──┐
　↓　↓　　↓
１０　　６　１３
　↓　↓　　↓　
　６　１０　１２
　↓　↓　　↓
　３　１５　　４
　↓　↓　　↓
１３　 ×　　５
　↓　　　　 ↓
１２　　　　１１
　↓　　　　 ↓
　４　　　　１４
　↓　　　　 ↓
　５　　　　　２
　↓　　　　 ↓
１１　　　　　７
　↓　　　　 ↓
１４　　　　　９
　↓　　　　 ×
　２
　↓
　７
　↓
　９
　◎

次に、9から始める場合は、8から始めた列を逆に並べればよい。